理解数学问题的思维活动开始了吗?

理解数学问题的思维活动开始了吗?
为什么要提出上述的问题呢?我们不得不面对的现实是:很多学生的数学学习是非本质的,是没有思维活动参与的;在解数学题的时候,不少学生没有理解数学问题的意识,操作运算、套用各种各样的”方法”去解决问题成为常态,理解数学问题的思维活动在一些学生的头脑中也许从来就没有开始过.在课堂上,我们也常常看到这样的情景:要解决的数学题通过 PPT 展示,似乎都能看得懂,不需要理解;几何图形画在了黑板上,谁都看得见,也不需要分析;教师巡视着埋头做题的学生,并催促看着题目还发愣的学生“拿起笔赶紧做”.几年前的一个场景让我记忆犹新:我和一个朋友的孩子交流数学问题,她是一名即将上高三的学生,我发现每当我提出一个问题需要她思考的时候,她总是马上拿起笔埋头就算.为了让她先把问题看明白再做题,我提醒她:“能不能先不要动笔,好好想一想问题?”,她回答:“不动笔,我的脑子就是一片空白”.直白的回答让我有点吃惊,我困惑的是:她对数学思维活动的感受是怎么样的呢?她的“动笔操作”有多少数学思维呢?当我们经过几次用数学思维来讨论数学问题之后,她的感慨是:“前两年的数学白学了!”.如何让数学思维在学生的数学学习中发挥作用呢?如何让学生有能力享受数学思维的乐趣呢?我的观点是:让数学的思维活动从理解数学问题开始.例 1.已知函数 有唯一零点,求 的值.分析:理解这个问题的切入点是研究函数 f(x)的性质.从函数 f(x)解析式的代数特征看,它是由两个函数组成:一个是学生熟悉的二次函数 ,这个函数最重要的性质是对称性,即取和为 2 的两个自变量时对应的函数值相等,其几何特征是开口向上的抛物线,对称轴为 x=1;还有一个函数,就是括号内的指数型函数,设为 .对于这个函数的性质也许不像对前面的二次函数那样熟悉,但是可以受到二次函数 h(x)性质的启发,函数 g(x)的自变量取和为 2 的两个值的时候,对应的函数值是否相等?图象是不是也会关于直线 x=1 对称?因为 ,因此,函数 g(x)也是关于直线 x=1 对称的.由此可知,函数 f(x)具有这样的性质:当取两个和为 2 的自变量时,对应的函数值相等,函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.经过上述对问题的一番思考,也就知道,函数 f(x)的唯一零点就是 x=1 由 f(1)=0,得 a=1/2. 从上述思维活动可以看出:理解数学问题的过程就是研究问题的过程,理解的越深刻,解决问题的方法也就越简单.如果不去理解问题,上来就操作会是怎样的情景呢?有取特殊值的,靠不断地尝试一些所谓的特殊值去碰运气;还有令 f(x)=0 演绎系数分离套路的,将解决问题的难度加大,甚至陷入困境.例 2.已知函数的定义域为 ,.若存在函数 ,使得函数 有且只有两个不同的零点,求实数 的值.分析:理解函数 g(x)的性质仍然是理解这个数学问题的切入点.函数 g(x)解析式是两个函数乘积的形式:前者是抽象函数的形式,设为 h(x),后者是二次函数.由函数 g(x)=0 得函数 h(x)=0 或 =0;这样,就把研究函数 g(x)的性质转化为研究这两个函数性质的问题.依据函数 h(x)=f(x)-f(-x)的代数特征,可取和为 0 的两个自变量 x 与-x,则有 h(-x)= f(-x)-f(x),故有 h(x)+ h(-x)=0,也就是函数 h(x)具有取两个和为 0 的两个自变量的值的时候,对应的函数值和为 0,即函数 h(x)是奇函数;又函数 f(x)的定义域为 R,也就是函数 h(x)的定义域为 R,其零点个数为奇数个;而函数 g(x)有且只有两个不同的零点,这样,奇函数 h(x)只能有一个零点,即 x=0;函数 有且只有一个零点且不等于零,易得 a=-4.例 3. 已知函数且 ,则实数 的取值范围是_____.分析:由于函数 f(x)是以 x=1 为界的分段函数,因此,首先应取和为 2 的两个自变量 x 与 2-x 来研究函数 f(x)的对称性.当 x≥1 时,可知,此时,,,所以,f(x)+ f(2-x)=4;同理,当 x<1 时,上述结论仍成立.这个函数性质可以表达为:当自变量取和为 2 的两个值的时候,对应函数值的和为 4;函数的图象特征是关于点(1,2)中心对称.在此基础上,函数 f(x)的单调性的研究只需关注 x≥1 时,函数 的单调性即可,这是一个单调递增函数,由此知:函数 f(x)在定义域内是单调递增函数.上述分析就是对函数 f(x)性质的理解,是理解数学问题的思维活动,为解决针对函数 f(x)所提出的具体问题打下了基础.具体问题所满足的条件是 f(a)+f(2a-4)<4,如何理解呢?如果能够让不等式两边是两个函数值的话,就可以借助函数 f(x)的单调递增性质转化为函数两个自变量的大小关系,进而求出 a 的取值范围了.根据前面对函数 f(x)对称性的研究,知道 f(a)+f(2-a)=4,因此,不等式可以改写为:f(a)+f(2a-4)< f(a)+f(2-a),化简整理得:f(2a-4)< f(2-a),又函数 f(x)为单调递增函数,得 2a-4<2-a,所以 a<2.故实数 a∈(-∞,2).练习:已知函数 .若 ,求实数 的取值范围.(答案:.)从上述问题的分析过程可以看到,解决数学问题的方法来源于对数学问题的理解.而这种理解就是对研究对象性质或关系的分析,学生的思维活动从理解数学问题开始并贯穿解题过程的始终. 面对数学问题的时候,教师教学生不动笔如何想就是在教学生如何进行数学的思维活动.
(安徽太平湖 拍摄者 张岚)
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数学教学的逻辑

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