知豆号已知方程组，已知方程组a111a111a有无穷多个解？
题：已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根α，β也是方程x4-px2+q=0的两根，求p+q的值。
分析：这是四川省数学竞赛题，一见一元二次方程两根，我们自然会想到韦达定理，从而可得一种解法；如果采用比较系数法，将两个方程化为次数相同的方程，再根据它们有相同的根得到对应系数相同进行求解。
解法一：由韦达定理，得
α+β=3，αβ=1，
因为α，β也是方程x4-px2+q=0的两根，
所以α4-pα2+q=0 ，β4-pβ2+q=0，
两式相加，得
(α4+β4)-p(α2+β2)+2q=0……（*），
因为α2+β2=(α+β)2-2αβ=9-2=7，
α4+β4=(α2+β2)2-2(αβ)2=49-2=47，
代入（*）式，得
47-7p+2q=0……（**）
同理，两式相减，得：
α4-β4-p(α2-β2)=0，
整理，得(α2+β2)( α2-β2)-p(α2-β2)=0，
显然，α2-β2≠0，
所以α2+β2-p=0，
所以p=α2+β2=(α+β)2-αβ
=9-2=7，
把p=7代入（**），得
47-49+2q=0，q=1，
所以p+q=8.
解法二：注意到四次方程
x4-px2+q=0不含一次项和三次项的，
因此，如果设x2=y，则y2-py+q=0，
根据已知条件，该方程的两根是α2，β2，
所以p=α2+β2=7，q=α2β2=1，
所以p+q=8.
解法三：由x2-3x+1=0，得
x2=3x-1，
两边平方，得 x4=9×2-6x+1，
所以x4-9×2+6x-1=0，
又由x2-3x+1=0，得3x= x2+1，
代入x4-9×2+6x-1=0，得
x4-9×2+2(x2+1)-1=0，
整理，得x4-7×2+1=0，
与x4-px2+q=0比较系数，得
-7=-p，1=q，
所以p=7，q=1，
所以p+q=8.
按照这种解法的思路，如下的方程变形解法更简洁。
解法四：由x2-3x+1=0，得
x2+1=3x，
两边平方，得 x4+2×2+1=9×2，
所以x4-7×2+1=0，
与x4-px2+q=0比较系数，得
-7=-p，1=q，
所以p=7，q=1，
所以p+q=8.
解法五：因为二次方程
x2-3x+1=0的两根也是四次方程
x4-px2+q=0的根，
所以四次方程含有二次方程的因式，也就是说，四次方程
x4-px2+q=0可化为
( x2-3x+1)(x2+ax+q)=0的形式，
将括号去掉，并整理，得
x4+(a-3)x3+(q-3a+1)x2+(-3q+a)x+q=0，
与原方程x4-px2+q=0比较系数，得
a-3=0，-p=q-3a+1，-3q+a=0，
解得a=3，q=1，p=7，
所以p+q=8.
以上就是小编关于【已知方程组3x+5y=m+2 2x+3y=m】的分享，希望对你有用。
